Wir haben im letzten Video nochmal die Definition von Ortho-Ronalität und Ortho-Normalität besprochen

und dabei festgestellt, dass diese Eigenschaften etwas sehr Schönes sind und jetzt stellt man

sich natürlich die Frage, wenn ich einen gegebenen euklidischen oder unitären Vektorraum betrachte,

wie kann ich für diesen Vektorraum solch eine Basis gewinnen oder konstruieren? Gibt es überhaupt

immer solch eine Basis? Das sind die Fragen, die wir uns heute stellen möchten. Wir beginnen

direkt mit einem Satz, der uns die Spannung nimmt und direkt sagt, ja, das geht. Das ist der

sogenannte Ortonormalisierungssatz. Das heißt, wir schauen uns heute an, wie man solch eine

Ortonormalbasis konstruieren kann, im endlichdimensionalen Fall. Beginnen wir einfach

mit der Formulierung des Satzes. Den Beweis werden wir konstruktiv führen. Das heißt,

ich werde an der Stelle Ihnen einen Algorithmus mit auf den Weg geben, den Sie nutzen können,

um aus gegebenen linierunabhängigen Vektoren solch eine Basis zu konstruieren. Und wir werden

auch versuchen, geometrisch zu interpretieren, was dort eigentlich passiert. Das sollten Sie aus dem

letzten Semester schon kennen, in einer etwas kompakteren Form. Ich habe gedacht, es macht

Sinn, das Ganze hier nochmal ausführlich zu besprechen und Ihnen zu illustrieren, was der

Algorithmus denn wirklich in diesem Vektorraum tut. Erstmal zu dem Satz. Sei V ein endlich

dimensionaler Vektorraum. Und der kann eukidisch oder unitär sein. Wir wählen einen Untervektorraum.

TimingFV ein Untervektorraum, der bereits eine Ortonormalbasis besitzt. Und die wollen wir

bezeichnen mit V1 bis Wm. Das sind Vektoren aus diesem Untervektorraum. Dann sagt uns dieser Satz,

es existiert eine Ergänzung aus Vektoren aus dem allgemeinen Vektorraum V, sodass das Ganze wieder

eine Ortonormalbasis des gesamten Vektorraums ergibt. Das heißt, wir können passende Vektoren

auswählen, sodass wir eine Ortonormalbasis erhalten. Dann existiert eine Ergänzung

aus Vektoren, die wollen wir jetzt mal in rot bezeichnen, Wm plus 1 bis Index Wn aus V.

Sodass wir eine Ortonormalbasis von V erhalten. Man nimmt natürlich die alte Ortonormalbasis

von V. Das heißt, wir beginnen mit den Vektoren W1 bis Wm. Und jetzt ergänzen wir diese eben um

Vektoren, die wir noch besprechen werden, wie man die erhält. Wm plus 1 bis Wn. Und das bildet

jetzt eine Ortonormalbasis von V. Also ganz wichtig, Ortonormalbasis von V. Gut, wie gerade kurz

angekündigt, der Beweis geht zurück auf die beiden Mathematiker Gram und Schmidt. Und die haben auch

gleichzeitig ein konstruktives Verfahren angegeben zur Berechnung dieser Vektoren Wm plus 1 bis Wn,

das sogenannte Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren, das ich gleich mit ihnen

besprechen möchte. Bevor wir dahin kommen, vielleicht noch zwei kurze Korollare, die man

aus diesem Satz ziehen kann. Das erste Korolare besagt, dass jeder endlich-dimensionale euklideisch

oder unitäre Vektorraum eine Ortonormalbasis besitzt. Wie können wir das einsehen? Das ist

auch erstmal nicht so klar a priori, dass jeder endlich-dimensionale Vektorraum solch eine

Ortonormalbasis hat. Jeder endlich-dimensionale euklideische bzw. unitäre Vektorraum

V besitzt eine Ortonormalbasis. Wie können wir das an dem Satz sehen? Schauen wir uns nochmal den Satz an.

Die Aussage ist, dass wenn ich einen Untervektorraum W nehme, der bereits eine Ortonormalbasis besitzt,

dann kann ich sie ergänzen. Naja, aber es ist nicht ausgeschlossen, dass unser Raum W nicht

einfach nur der Nullvektorraum ist, der nur aus der Null besteht. Das heißt, ich könnte mir auch

sowas anschauen. W besteht nur aus der Null und dann ist klar, ich muss dann N-Basisvektoren

wählen aus V, die dann ortonormal sind und kann das Ganze dann ergänzen. Das heißt, als Spezialfall

für W nur der Spannungs der Null finde ich N-Vektoren und die sind dann schon die gesamte

Basis des endlich-dimensionalen Vektorraums. Das ist das erste Korula. Wenn man sich das Ganze

anschaut, wie hier die Basis konstruiert ist in blau und rot, dann ist auch klar, wie sich hier

die Dimensionen zusammensetzen. Das heißt, wir haben noch ein Korula. Ist W ein Untervektorraum

von V, eines eukidischen bzw. unitären Vektorraums? V. Dann gilt Folgendes.

Ich kann jetzt V zerlegen in W und sein orthogonales Komplement als direkte Summe. Das heißt,

ich kann schreiben, V lässt sich zerlegen in W. Jetzt die Notation, die wir im letzten Video

eingeführt haben, die direkte Summe mit dem orthogonalen Komplement von W. Das sind all

diejenigen Vektoren, die orthogonal stehen zu W. Das kann ich aus dem Satz folgern und außerdem

kann ich über die Dimensionen aussagen, dass die sich gerade ergänzen. Das heißt, die Dimension von